Barisan Bilangan Khusus

Pada dasarnya barisan bilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Hanya saja, aturan tertentu di sini ada yang terpola dengan baik seperti barisan aritmetika dan geometri, ada pula yang relatif harus dipahami terlebih dahulu permasalahannya, seperti sistem penanggalan.
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berurutan selalu merupakan bilangan konstan. Barisan ini mengikuti pola suku ke-n:
Un = a + (n-1)b,
di mana
a = suku pertama
b = selisih dua suku yang berurutan = Un - U(n-1) = U2 - U1 = U3 - U2 = ....
Sebagai contoh:
1, 3, 5, 7, ... mengikuti pola Un = 1 + (n-1)*2 = 2n - 1, sehingga U9 = 2*9 - 1 = 17
3, 7, 11, 15, ... mengikuti pola Un = 3 + (n-1)4 = 4n - 1, sehingga U9 = 4*9 - 1 = 35
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap. Bilangan yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding). Barisan ini mengikuti pola suku ke-n:
Un = a*r^(n-1)
di mana
a = suku pertama
r = rasio/pembanding = Un/U(n-1) = U2/U1 = U3/U2 = ....
Sebagai contoh:
1, 3, 9, 27, ... mengikuti pola Un = 1*3^(n-1) = 3^(n-1), sehingga U6 = 3^5 = 243
2, 4, 8, 16, ... mengikuti pola Un = 2*2^(n-1), sehingga U6 = 2*2^5 = 64
Barisan bilangan khusus di antaranya:

1. Barisan bilangan persegi: 1, 4, 9, 16, ... 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ... Un = n^2, sehingga U6=6^2=36
2. Barisan bilangan persegi panjang: 2, 6, 12, 20, ... 1*2, 2*3, 3*4, 4*5, ... Un = n(n+1), sehingga U6=6(6+1)=42
3. Barisan bilangan segitiga: 1, 3, 6, 10, ... Un = 1/2 n*(n+1), sehingga U6=1/2 * 6(6+1) = 21

Ada bilangan khusus lain, diantaranya: 3,9,18,30,... dan 1,3,7,13,... Kedua barisan ini dipertanyakan oleh anakku, ketika membahas soal UN tahun 2010. Sebenarnya, tidak sulit menemukan angka berikutnya yang dipermasalahkan, yakni U6, dan ia pun dapat menjawabnya; untuk barisan yang disebut pertama U6=63 dan yang disebut kedua U6=31. Yang jadi permasalahan, barisan tersebut mengikuti aturan tertentu dan dipastikan ada rumus umumnya.
Ternya kedua barisan mengikuti pola yang sama. Perhatikan barisan yang disebut pertama dengan terlebih dahulu menambahkan 2 angka berikutnya supaya lebih banyak, sehingga didapat:
U1   U2   U3   U4   U5   U6
  3     9     18   30    45     63
      6     9     12   15     18      : selisih Un dg U(n-1)
          3     3      3      3           : selisih Un dg U(n-1)
              0     0      0               : selisih Un dg U(n-1)
Jika baris pertama selisihnya semua nol, maka terdapat bilangan konstan a.
Jika baris kedua selisihnya juga semua nol, maka terdapat bilangan a + b*n di mana a dan b konstan.
Jika baris ketiga selisihnya juga semua nol, maka terdapat bilangan a + b*n + c*n^2, di mana a, b, dan c konstan.
Dan seterusnya.
Untuk memudahkan, pengecekan menggunakan 3 nilai n dimulai dengan n=0, sebagai berikut:
Untuk n=0, a + b*0 + c*0^2 = 0
Untuk n=1, a + b*1 + c*1^2 = 3
Untuk n=2, a + b*2 + c*2^2 = 9
Didapat:
Untuk n=0, a + 0 = 0, jadi a = 0.
sehingga:
Untuk n=1, b + c = 3   ..................(i)
Untuk n=2, 2b + 4c = 9 ................(ii)
Dengan metode eliminasi untuk kasus n=1 dan n=2, persamaan (i) dikalikan 2 dan persamaan (ii) dikalikan 1, akan didapat:
2b + 4c = 9
2b + 2c = 6
---------------
         2c = 3
           c = 3/2
Dengan mensubstitusikan c = 3/2 pada persamaan (i) akan didapat:
b + 3/2 = 3
         b = 3/2
Kalau begitu, persamaan yang didapat adalah:
0 + 3/2 (n) + 3/2 (n^2)
ekuivalen dengan:
(3n + 3n^2) / 2
Cek:
n=0 --> (3*0 + 3*0^2) / 2 = 0
n=1 --> (3*1 + 3*1^2) / 2 = 3
n=2 --> (3*2 + 3*2^2) / 2 = 9
n=3 --> (3*3 + 3*3^2) / 2 = 18
n=4 --> (3*4 + 3*4^2) / 2 = 30
n=5 --> (3*5 + 3*5^2) / 2 = 45
n=6 --> (3*6 + 3*6^2) / 2 = 63
Dengan cara yang sama, akan didapat penyelesaian untuk mencari rumus Un pada barisan 1,3,7,13,... sebagai berikut:
U1   U2   U3   U4   U5   U6
   1     3     7    13    21    31    ...
       2     4    6      8     10    ...
           2    2     2      2    ...
              0     0     0     ...
a + b*1 + c*1^2 = 1
a + b*2 + c*2^2 = 3
a + b*3 + c*3^2 = 7
Jika diselesaikan ketiga persamaan tersebut, akan didapat a = 1, b = -1, c = 1, sehingga rumus persamaan untuk barisan 1,3,7,13,... adalah:
1 - n + n^2 = n^2 - n + 1
Untuk lebih meyakinkan  bisa dicek lagi untuk barisan 1, 3, 6, 10, ... atau bilangan lain yang sepola tetapi dibuat sendiri. Selamat mencoba!

Lagu Ayu Tingting jadi Materi Logika Matematika

Bingung apa yang harus dibawa untuk menyajikan materi Logika menarik di awal pembelajaran Logika Matematika. Terlebih baru masuk semester genap anak-anak sudah diberi permasalahan mencari kalimat "PERNYATAAN" dan "BUKAN PERNYATAAN", tapi tidak menggunakan kalimat matematika.

Sebab, namanya juga pembelajaran Logika, berkutat di nalar, maka harus berkorelasi dengan keseharian. Dengan contoh kalimat matematika akan mudah menemukannya, apalagi sebelumnya mereka ditanya pendapatnya Benar atau Salah x+2=9 dan anak-anak mampu digiring ke arah pengertian PERNYATAAN dan BUKAN PERNYATAAN.

Untuk PERNYATAAN, anak-anak berebut memberi contoh. Tapi ketika giliran contoh BUKAN PERNYATAAN malah mengatakan "Bingung, pak!"

Teringat sang artis fenomenal, langsung saja mereka ditanya artis populer saat ini. Serempak mereka menyebut Ayu Tingting dengan lagu Alamat Palsu-nya.

Bagaimana lagunya? Serempak pula mereka menyanyikannya. Dimana... dimana... dimana?

"Nah itu contoh kalimat BUKAN PERNYATAAN."

Dua angka yang amicable 220 dan 284

Ide menulis angka bersahabat 220 dan 284 ini bermula ketika temanku membuka sebuah situs tertentu yang ternyata muncul angka "404" dan "FORBIDDEN". "Lho koq!" begitu kata temanku. Namun kemudian tuturnya, "Tahukah pak, tahun 2036 asteroid akan menabrak bumi?" Penasaran, langsung tanya mbah Google, dan memang banyak tulisan bahkan video tentang itu, di antaranya adalah tulisan:

1. Predicting Apophis' Earth Encounters in 2029 and 2036 - Predicting Apophis' Earth Encounters in 2029 and 2036. SUMMARY. Researchers at NASA/JPL, Caltech, and Arecibo Observatory have released the results of radar ...
2. YouTube - Apophis 99942: The Killer Asteroid of 2036‏ - This is a short clip of scenes which depict scenarios of the happenings that might take place on April 13, 2036. The asteroid will come very ...
3. Apophis Asteroid Could Hit Earth In 2036, Scientists Say (VIDEO) - Apophis Asteroid is back in the news after a Russian report concluded it could hit Earth in 2036. They even have a date for the potential ...
4. Russians: 2036 Killer Asteroid Collision: NASA Unimpressed - Tech ... - 4 Feb 2011 – Only Point of Agreement: A 900-foot-Long Asteroid is Indeed Heading Toward Earth for a Close Fly-By - But How Close?

Terinspirasi kedua angka di atas, jadi teringat ketika belajar teori bilangan, dosenku mengatakan ada pasangan angka yang bernilai sama, maksudnya pasangan yang amicable atau amicable pair, dan yang terkecil adalah angka 220 dan 284. Kedua angka ini bahkan kemudian menjadi ikon seluruh buku kuliahku saat itu, sehingga jika menemukan buku matematika yang pada jilid atau halaman awalnya tertulis kedua angka itu, mungkin milikku. He... he... PD banget, ya... padahal mungkin orang lain pun ada yang begini.
Apa itu "amicable pair" atau pasangan amicable?
Pasangan angka (m,n), dengan m,n elemen N dan m

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Sedangkan 284 = 2.4.71, sehingga pembagi tepat 284 termasuk 1 dan bukan angka itu sendiri adalah 1, 2, 4, 71, dan 142, yang jumlahnya adalah

1+2+4+71+142 = 220

Terlihat bahwa masing-masing (220,284) adalah jumlah pembagi tepat dari yang lain, dimana pembagi tepat dari salah satunya adalah pembaginya termasuk 1 tetapi tanpa angka itu sendiri. Maka pasangan (220,284) adalah pasangan amicable.
Lima pasangan amicable pertama adalah (220,284), (1184,1210), (2620,2924), (5020,5564), (6232,6368).
Lebih lanjut tentang pasangan yang amicable bisa baca "Amicable Pair" dari MathWorld.wolfram.com atau download link berikut:
atau

Asosiasi Guru Matematika Indonesia

Berawal dari searching, saya menemukan situs resmi Asosiasi Guru Matematika Indonesia (AGMI). Sebagai euclidian memang butuh asosiasi semacam ini. Langsung aja sign Up dan login.

Di berandanya selamat datang dinyatakan bahwa AGMI merupakan wadah berkumpul dan berkiprah guru matematika dalam semua tingkatan pendidikan, mulai dari guru SD/MI, SMP/MTs, sampai SMA/MA/SMK baik negeri maupun swasta. Sebagai sebuah organisasi profesi yang berorientasi dalam peningkatan mutu pendidikan nasional melalui pemberdayaan guru matematika di Indonesia, Asosiasi Guru Matematika Indonesia (AGMI) berupaya terus menerus secara nyata melakukan berbagai bentuk kegiatan dan program kerja yang berorientasi pada peningkatan mutu guru matematika. Bentuk kegiatan yang dilakukan Asosiasi Guru Matematika Indonesia (AGMI) diantaranya pelatihan guru untuk pendalaman/ penguasaan materi pembelajaran, pengembangan teori/model pembelajaran, pengembangan fasilitas/media dan teknologi pembelajaran, dan pengembangan motivasi/kreativitas dan profesionalisme serta karier guru matematika. Saat ini Asosiasi Guru Matematika Indonesia (AGMI) memiliki keanggotaan di pulau Jawa dan Sumatera.

Dan ternyata AGMI ini dideklarasikan pada 27 Juli 2006 di Semarang pada acara Konferensi Nasional Matematika XIII yang diselenggarakan oleh Himpunan Matematika Indonesia (IndoMS). Cikal bakal Asosiasi Guru Matematika Indonesia (AGMI) adalah Asosiasi Guru Matematika Bandung (AGMB) yang dideklarasikan pada 26 April 2006 di Bandung dalam seminar Nasional Pendidikan Matematika dengan nara sumber Prof. Dr Zamroni sebagai direktur profesi pendidik, Dr. Edi Tri Baskoro dari Badan Standar Nasional Pendidikan, dan Prof. Dr. H. Wahyudin guru besar pendidikan matematika UPI.

Dari pengakuannya, AGMI tidak selamanya berjalan sendiri tetapi bekerjasama baik dengan organisasi profesional seperti Himpunan Matematika Indonesia (IndoMS) dan Himpunan Statistikawan dan Matematikawan Muslim Asia Tenggara (MSMSSEA) maupun para pakar matematika/pendidikan matematika yang berasal dari beberapa dosen perguruan tinggi seperti ITB, UPI, UNISBA serta Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP) Matematika SMP maupun SMA dan Dinas Pendidikan di berbagai daerah di Wilayah Indonesia.

Mau tahu lebih lanjut klik di sini, atau mau gabung klik di sini.

Matematika bagi Srikandi UN SMP 2008

Pelajaran matematika saat ini masih jadi momok sebagian siswa dari SD/MI sampai SMA/MA, termasuk SMK. Sebab katanya merupakan pelajaran paling sukar.

Lain dengan Ratu Meidina, siswa SMP 115 Tebet Jakarta Selatan. Seperti ditulis harian warta kota (24/6/08), matematika justru mudah karena itu mata pelajaran favoritnya. Sejak SD Ratu menyukai pelajaran matematika. Matematika dianggap lebih mudah dan sederhana dibandingkan dengan mata pelajaran lain seperti fisika, biologi, atau bahasa. "Nggak tahu, sepertinya belajar matematika itu enak aja dan cepet ngerti," ujarnya.

Karena kesukaannya pd matematika, Ratu memperoleh nilai 10,00 pada UN SMP. Bukan itu saja, dg nilai UN bhs Indonesia 9,40, bhs Inggris 9,80 dan IPA 9,75, total nilai UN-nya menjadi 38,95. Dan prestasinya ini mengantarkan Ratu sebagai Srikandi Jagoan nilai UN SMP tertinggi se-Indonesia tahun 2008.

Selamat buat Ratu UN SMP! Semoga sukses slalu dan predikat desainer interior sbgmana yg cita2 Ratu bìsa tercapai.

Masih ga percaya pengakuan Ratu pada matematika? Sadari bahwa matematika tak perlu banyak menghapal, tak seperti yang lain, tp harus banyak latihan menyelesaikan soal. Jangan hanya belajar matematika waktu luang atau tenang, harus dicoba pada berbagai kondisi.

Makin berganti tahun masalah kita, include masalah negara akan makin numpuk dan komplek, maka dibutuhkan orang-orang yang biasa dan terampil menyelesaikan masalah. Dan belajar matematika adalah jawabannya. Menyelesaikan soal2 matematika dari sekarang, supaya terbiasa dengan masalah, sehingga jika di kemudian hari didapatkan masalah bukan jadi stress atau bertindak tidak karuan. Tapi betul2 dihadapi dengan serius. Hanya saja, kita semua berharap mudah2an ketenangan & ketentraman slalu menyertai kita. Amin.