Barisan Bilangan Khusus

Pada dasarnya barisan bilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Hanya saja, aturan tertentu di sini ada yang terpola dengan baik seperti barisan aritmetika dan geometri, ada pula yang relatif harus dipahami terlebih dahulu permasalahannya, seperti sistem penanggalan.
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berurutan selalu merupakan bilangan konstan. Barisan ini mengikuti pola suku ke-n:
Un = a + (n-1)b,
di mana
a = suku pertama
b = selisih dua suku yang berurutan = Un - U(n-1) = U2 - U1 = U3 - U2 = ....
Sebagai contoh:
1, 3, 5, 7, ... mengikuti pola Un = 1 + (n-1)*2 = 2n - 1, sehingga U9 = 2*9 - 1 = 17
3, 7, 11, 15, ... mengikuti pola Un = 3 + (n-1)4 = 4n - 1, sehingga U9 = 4*9 - 1 = 35
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap. Bilangan yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding). Barisan ini mengikuti pola suku ke-n:
Un = a*r^(n-1)
di mana
a = suku pertama
r = rasio/pembanding = Un/U(n-1) = U2/U1 = U3/U2 = ....
Sebagai contoh:
1, 3, 9, 27, ... mengikuti pola Un = 1*3^(n-1) = 3^(n-1), sehingga U6 = 3^5 = 243
2, 4, 8, 16, ... mengikuti pola Un = 2*2^(n-1), sehingga U6 = 2*2^5 = 64
Barisan bilangan khusus di antaranya:

1. Barisan bilangan persegi: 1, 4, 9, 16, ... 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ... Un = n^2, sehingga U6=6^2=36
2. Barisan bilangan persegi panjang: 2, 6, 12, 20, ... 1*2, 2*3, 3*4, 4*5, ... Un = n(n+1), sehingga U6=6(6+1)=42
3. Barisan bilangan segitiga: 1, 3, 6, 10, ... Un = 1/2 n*(n+1), sehingga U6=1/2 * 6(6+1) = 21

Ada bilangan khusus lain, diantaranya: 3,9,18,30,... dan 1,3,7,13,... Kedua barisan ini dipertanyakan oleh anakku, ketika membahas soal UN tahun 2010. Sebenarnya, tidak sulit menemukan angka berikutnya yang dipermasalahkan, yakni U6, dan ia pun dapat menjawabnya; untuk barisan yang disebut pertama U6=63 dan yang disebut kedua U6=31. Yang jadi permasalahan, barisan tersebut mengikuti aturan tertentu dan dipastikan ada rumus umumnya.
Ternya kedua barisan mengikuti pola yang sama. Perhatikan barisan yang disebut pertama dengan terlebih dahulu menambahkan 2 angka berikutnya supaya lebih banyak, sehingga didapat:
U1   U2   U3   U4   U5   U6
  3     9     18   30    45     63
      6     9     12   15     18      : selisih Un dg U(n-1)
          3     3      3      3           : selisih Un dg U(n-1)
              0     0      0               : selisih Un dg U(n-1)
Jika baris pertama selisihnya semua nol, maka terdapat bilangan konstan a.
Jika baris kedua selisihnya juga semua nol, maka terdapat bilangan a + b*n di mana a dan b konstan.
Jika baris ketiga selisihnya juga semua nol, maka terdapat bilangan a + b*n + c*n^2, di mana a, b, dan c konstan.
Dan seterusnya.
Untuk memudahkan, pengecekan menggunakan 3 nilai n dimulai dengan n=0, sebagai berikut:
Untuk n=0, a + b*0 + c*0^2 = 0
Untuk n=1, a + b*1 + c*1^2 = 3
Untuk n=2, a + b*2 + c*2^2 = 9
Didapat:
Untuk n=0, a + 0 = 0, jadi a = 0.
sehingga:
Untuk n=1, b + c = 3   ..................(i)
Untuk n=2, 2b + 4c = 9 ................(ii)
Dengan metode eliminasi untuk kasus n=1 dan n=2, persamaan (i) dikalikan 2 dan persamaan (ii) dikalikan 1, akan didapat:
2b + 4c = 9
2b + 2c = 6
---------------
         2c = 3
           c = 3/2
Dengan mensubstitusikan c = 3/2 pada persamaan (i) akan didapat:
b + 3/2 = 3
         b = 3/2
Kalau begitu, persamaan yang didapat adalah:
0 + 3/2 (n) + 3/2 (n^2)
ekuivalen dengan:
(3n + 3n^2) / 2
Cek:
n=0 --> (3*0 + 3*0^2) / 2 = 0
n=1 --> (3*1 + 3*1^2) / 2 = 3
n=2 --> (3*2 + 3*2^2) / 2 = 9
n=3 --> (3*3 + 3*3^2) / 2 = 18
n=4 --> (3*4 + 3*4^2) / 2 = 30
n=5 --> (3*5 + 3*5^2) / 2 = 45
n=6 --> (3*6 + 3*6^2) / 2 = 63
Dengan cara yang sama, akan didapat penyelesaian untuk mencari rumus Un pada barisan 1,3,7,13,... sebagai berikut:
U1   U2   U3   U4   U5   U6
   1     3     7    13    21    31    ...
       2     4    6      8     10    ...
           2    2     2      2    ...
              0     0     0     ...
a + b*1 + c*1^2 = 1
a + b*2 + c*2^2 = 3
a + b*3 + c*3^2 = 7
Jika diselesaikan ketiga persamaan tersebut, akan didapat a = 1, b = -1, c = 1, sehingga rumus persamaan untuk barisan 1,3,7,13,... adalah:
1 - n + n^2 = n^2 - n + 1
Untuk lebih meyakinkan  bisa dicek lagi untuk barisan 1, 3, 6, 10, ... atau bilangan lain yang sepola tetapi dibuat sendiri. Selamat mencoba!